Hamiltoniano

Momentos conjugados canónicos, función hamiltoniana y ecuaciones canónicas de Hamilton.

Idea general del tema

La formulación hamiltoniana sustituye las velocidades generalizadas por los momentos conjugados como variables independientes. El hamiltoniano H(q, p) suele coincidir con la energía total del sistema y genera la evolución con dos ecuaciones de primer orden por cada coordenada.

El tema introduce la transformación de Legendre, que permite pasar del lagrangiano al hamiltoniano, y deduce las ecuaciones de Hamilton, q̇ = ∂H/∂p y ṗ = −∂H/∂q, que describen el movimiento como un flujo en el espacio de fases. El formalismo se completa con los corchetes de Poisson, las transformaciones canónicas, la teoría de Hamilton-Jacobi y el tratamiento de sistemas con ligaduras mediante corchetes de Dirac.

Qué vas a comprender de verdad

Al terminar sabrás construir el hamiltoniano a partir del lagrangiano, escribir las ecuaciones de Hamilton y reconocer que H se conserva cuando no depende explícitamente del tiempo.

También sabrás interpretar la trayectoria como una curva en el plano (q, p).

Ruta didáctica recomendada

1. Transformación de Legendre: cómo cambiar de variable (q̇ por p) sin perder información, con la transformación de Legendre.
2. Ecuaciones de Hamilton: ecuaciones canónicas, conservación de H y representación en el espacio de fases.
3. Corchetes de Poisson: evolución de cualquier magnitud mediante el corchete con H y condición para que se conserve.
4. Transformaciones canónicas: cambios de variables que conservan la forma de las ecuaciones de Hamilton y su función generatriz.
5. Teoría de Hamilton-Jacobi: ecuación para la acción como función de las coordenadas, que lleva a la integración del movimiento.
6. Sistemas con ligaduras y corchetes de Dirac: cómo tratar sistemas con ligaduras entre las variables canónicas mediante el corchete de Dirac.

Criterio físico que debes adquirir

El criterio esencial es expresar H en términos de q y p, no de q̇. Si el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo y las ligaduras no dependen de él, H coincide con la energía y se conserva. Para un oscilador armónico, las trayectorias en el plano (q, p) son elipses.

Conexión con problemas reales

• mecánica cuántica.
• física estadística.
• dinámica orbital.
• sistemas caóticos y espacio de fases.

Objetivo final del tema

El objetivo final es dominar la formulación canónica de la mecánica y usar el espacio de fases para describir el movimiento.