Sistemas con ligaduras y Dirac

Sistemas con ligaduras y Dirac en mecánica avanzada. Teoría, fórmulas, ejemplos resueltos y aplicaciones.

Contexto conceptual

¿Qué ocurre cuando el hamiltoniano de un sistema no puede construirse de la forma habitual porque algunos momentos no son invertibles en términos de las velocidades? Esto sucede, por ejemplo, en electrodinámica con la teoría de Maxwell en el formalismo hamiltoniano, o en cualquier teoría con simetría gauge: la transformación de Legendre estándar falla porque aparecen relaciones —ligaduras primarias— entre las propias coordenadas y momentos, en vez de ecuaciones que despejen las velocidades. Paul Dirac desarrolló, a finales de los años 1950, el procedimiento sistemático para tratar estos casos sin romper la estructura hamiltoniana.

La idea central es que el hamiltoniano que realmente genera la evolución del sistema no es el canónico ($H_c$) obtenido de forma ingenua, sino un hamiltoniano total ($H_T$) que añade la contribución de cada ligadura multiplicada por un factor indeterminado. Las magnitudes de este leaf, $H_T$, $H_c$, $\lambda^\alpha\phi_\alpha$, $\phi_\alpha$, $\lambda_\alpha$, $C_{\alpha\beta}$, $F$ y $\{F,G\}_D$, recorren exactamente esa cadena: del hamiltoniano canónico al total, de las ligaduras individuales a su estructura de corchetes, y de ahí al corchete corregido que sí respeta las ligaduras en la evolución temporal.

🟢 Nivel esencial

La idea esencial, sin álgebra, es esta: cuando un sistema tiene restricciones que ya estaban presentes antes incluso de resolver las ecuaciones de movimiento (ligaduras primarias), no basta con calcular el hamiltoniano de la forma habitual y evolucionar con él. Hay que añadir, a mano, un término por cada ligadura, multiplicado por un número que el propio formalismo determina (o deja libre, según el caso) exigiendo que las ligaduras se mantengan válidas en todo instante.

Esa exigencia de consistencia es el corazón del método. Si una ligadura no se mantiene automáticamente al evolucionar el sistema, el formalismo obliga a que aparezca información nueva: o bien fija el valor del multiplicador correspondiente, o bien revela una ligadura adicional que antes no era evidente. Distinguir estas dos posibilidades —ligaduras de segunda clase, con multiplicador fijado, y de primera clase, con multiplicador libre— es la pregunta de fondo que un estudiante debe saber responder antes de operar con las fórmulas.

Las ligaduras de primera clase no son un defecto del formalismo: reflejan libertad gauge, la misma libertad que en electromagnetismo permite elegir distintos potenciales para el mismo campo físico. Las de segunda clase, en cambio, señalan grados de libertad genuinamente eliminados por la restricción.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

Esta primera capa formal reúne la relación de referencia que permite reconocer el modelo y leer sus variables antes de entrar en deducciones más abstractas. Conviene identificar qué representa cada término, qué hipótesis lo hace válido y cómo se conectan las coordenadas elegidas con el movimiento físico que se quiere describir.

El nivel formal se apoya en cuatro relaciones:

Hamiltoniano total de Dirac

Preguntas reales del alumno

"¿Por qué no basta con imponer la ligadura al final, sustituyendo su valor cero después de resolver las ecuaciones?" Porque el multiplicador asociado a cada ligadura de segunda clase afecta a la dinámica de las demás variables durante la evolución, no solo al final; ignorarlo durante el cálculo produce una trayectoria que no respeta las ligaduras en ningún instante intermedio.

"¿Cómo sé si una ligadura es de primera o de segunda clase sin calcular toda la matriz $C_{\alpha\beta}$?" No hay atajo general: hay que calcular explícitamente los corchetes de Poisson entre todas las ligaduras primarias identificadas y comprobar si la matriz resultante es invertible.

Síntesis final

Al terminar este leaf, el estudiante debe poder explicar por qué el hamiltoniano canónico no basta cuando hay ligaduras primarias, construir el hamiltoniano total sumando la contribución de las ligaduras, y distinguir ligaduras de primera clase (multiplicador libre, libertad gauge) de segunda clase (multiplicador determinado, matriz de ligaduras invertible, corchete de Dirac necesario).

La comprobación final relevante es de consistencia, no experimental en el sentido habitual: verificar que el corchete de Dirac de cualquier ligadura con cualquier observable se anula idénticamente es la prueba de que el formalismo se ha aplicado correctamente.