Transformaciones canónicas

Cambios de variables que preservan la forma hamiltoniana. Teoría, fórmulas, ejemplos resueltos y aplicaciones.

Contexto conceptual

¿Por qué en mecánica hamiltoniana se pueden cambiar las coordenadas y los momentos casi con total libertad, mientras que en mecánica lagrangiana solo se pueden cambiar las coordenadas? La respuesta es que el espacio de fases hamiltoniano tiene una estructura extra —la estructura simpléctica, codificada en los corchetes de Poisson— que las transformaciones deben preservar, y esa libertad adicional (mezclar posiciones y momentos) es exactamente lo que hace tan poderoso al formalismo hamiltoniano: a veces, una elección inteligente de nuevas variables convierte un problema difícil en uno trivial.

Este leaf trata las transformaciones canónicas generadas por una función generatriz de tipo 2, $F_2$, que depende de la coordenada antigua $q_i$ y del momento nuevo $P_i$. Sus derivadas parciales dan el momento antiguo $p_i$ y la coordenada nueva $Q_i$; el hamiltoniano transformado $K$ puede diferir del original $H$ si la generatriz depende explícitamente del tiempo, mediante $\partial F_2/\partial t$; y la condición $C$ verifica que la transformación propuesta realmente preserva la estructura simpléctica.

🟢 Nivel esencial

La idea esencial es que una transformación de variables (q,p)→(Q,P) no es automáticamente válida en mecánica hamiltoniana, aunque parezca razonable. Solo es "canónica" —solo preserva la forma de las ecuaciones de Hamilton en las nuevas variables— si mantiene intacta una cierta estructura algebraica entre las variables, el corchete de Poisson fundamental.

La forma más práctica de garantizar esa preservación, sin tener que comprobarla a mano cada vez, es generar la transformación completa a partir de una única función, la función generatriz. Cualquier transformación que se derive correctamente de una función generatriz es automáticamente canónica; por eso este leaf se centra en cómo usar esa función, no en verificar la condición desde cero en cada caso.

Un ejemplo célebre que ilustra el poder de esta idea: existe una transformación canónica que convierte al oscilador armónico simple, con su hamiltoniano cuadrático en posición y momento, en un sistema donde la nueva coordenada es simplemente el ángulo de fase y avanza a ritmo constante. El problema, que en las variables originales requiere resolver una ecuación diferencial, se vuelve trivial en las nuevas variables.

🔵 Nivel formal

Fórmulas básicas

Esta primera capa formal reúne la relación de referencia que permite reconocer el modelo y leer sus variables antes de entrar en deducciones más abstractas. Conviene identificar qué representa cada término, qué hipótesis lo hace válido y cómo se conectan las coordenadas elegidas con el movimiento físico que se quiere describir.

El nivel formal se apoya en cuatro relaciones:

Relación generatriz tipo 2 (momento antiguo)

Coordenada nueva desde la generatriz

Hamiltoniano transformado

Preguntas reales del alumno

"¿Por qué no basta con verificar que la transformación es invertible, como en cualquier cambio de variable?" Porque invertibilidad es una condición mucho más débil que canonicidad: hay infinitas transformaciones invertibles de (q,p) que no preservan la estructura simpléctica y por tanto no son canónicas.

"¿Cómo elijo qué tipo de función generatriz usar (F₁ a F₄)?" Depende de qué pareja de variables se quiere fijar como independientes: tipo 2 (usado en este leaf) fija la coordenada antigua y el momento nuevo; los otros tres tipos fijan combinaciones distintas.

Síntesis final

Al terminar este leaf, el estudiante debe poder derivar una transformación completa a partir de una función generatriz de tipo 2, verificar que es canónica mediante los corchetes de Poisson, y construir el hamiltoniano transformado incluyendo la corrección temporal cuando corresponda.

La comprobación final relevante es de consistencia: verificar que las ecuaciones de Hamilton escritas con $K$ en las nuevas variables (Q,P) producen exactamente la misma física (las mismas trayectorias) que las ecuaciones originales con $H$ en (q,p).